《離散數(shù)學(xué)》(1)集合及其運(yùn)算

第3章  集合及其運(yùn)算

 

      集合在中學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)過，而且在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中也曾遇到，這里只是多了一個(gè)冪集的概念，著重對(duì)冪集合的理解，一是掌握冪集合的構(gòu)成，二是冪集合的元數(shù)為2ⁿ,其中n是集合的元數(shù)。

 

一、教學(xué)基本要求

       1. 理解集合、元素、全集合、空集合、集合的元數(shù)和冪集等概念。

       2. 理解集合的包含、子集和相等等概念，熟練掌握集合的表示方法和集合的并、交、補(bǔ)、差和對(duì)稱差等運(yùn)算，會(huì)用文氏圖表示集合的各種運(yùn)算。

       3. 掌握集合運(yùn)算的基本規(guī)律，掌握用集合運(yùn)算基本規(guī)律證明集合恒等式的方法。

       4. 了解有序?qū)偷芽▋悍e的概念，會(huì)作笛卡兒積的運(yùn)算。

    本章重點(diǎn)：集合概念，集合的運(yùn)算，集合恒等式的證明。笛卡兒積。

 

       二、學(xué)習(xí)輔導(dǎo)

       本章重點(diǎn)輔導(dǎo)四個(gè)問題：集合的概念，集合的運(yùn)算，集合集合恒等式的證明和笛卡兒積。

       1. 集合的概念

       有如下知識(shí)點(diǎn)：

       ·集合，元素，集合的元數(shù)；

       ·集合的表示方法：列舉法和描述法；

       ·特殊集合：全集合E，空集合Æ，

       ·集合的關(guān)系：包含，子集，集合相等，冪集。

       在集合概念部分要特別注意：元素與子集，子集與冪集，Î與Ì(Í)，空集Æ與所有集合等的關(guān)系。

 

       例3.1 已知S＝{2,a,{3},4},R={{a},3,4,1},指出下列命題的真值。

       (1) {a}ÎS;                (2) {a}ÎR;

       (3) {a,4,{3}}ÍS;           (4) {{a},1,3,4}ÍR;

       (5) R=S;                  (6) {a}ÍS;

       (7) {a}ÍR;                (8) ÆÌR;

       (9) ÆÍ{{a}}ÍR;           (10) {Æ}ÍS;

       (11) ÆÎR;                (12) ÆÍ{{3},4}.

       解 集合S有四個(gè)元素組成：2，a，{3}，4，而元素{3}又是集合。集合R類似。

       (1) {a}，這是單元素的集合，{a}不是集合S的元素。故命題A：{a}ÎS的真值為0；

       (2) {a}是R的元素，故命題B：{a}ÎR的真值為1。

       (3) a,4,{3}都是集合S的元素，它們可以構(gòu)成S的子集。故命題C：{a,4,{3}}ÍS的真值為1．

       (4) {a}，1，3，4都是R的元素，它們可以構(gòu)成R的子集，故命題D：{{a},1,3,4}ÍR的真值為1。

       注意：列舉法表示的集合的元素，把所有元素全列出來，放在圓括號(hào)內(nèi)，在圓括號(hào)內(nèi)的順序可任意。

       (6)和(8)，(9)和(12)相應(yīng)題號(hào)的命題，其真值為1；而(5)，(7)，(10)，(12)相應(yīng)題號(hào)的命題，其真值為0。

 

    2. 集合的運(yùn)算

       集合的運(yùn)算有并、交、補(bǔ)、差、對(duì)稱差，當(dāng)然應(yīng)該很好地掌握。由這些運(yùn)算，派生出10條運(yùn)算律(即運(yùn)算的性質(zhì))，即交換律、結(jié)合律、分配律、冪等律、同一律、零律、補(bǔ)余律、吸收律、摩根律和雙補(bǔ)律等。

       集合的運(yùn)算部分有三個(gè)方面的問題：其一是進(jìn)行集合的運(yùn)算；其二是集合運(yùn)算式的化簡(jiǎn)；其三是集合恒等式的推理證明。

       集合恒等式證明的目的有兩個(gè)，一是通過證明的練習(xí)，加深對(duì)集合性質(zhì)和第1章命題公式基本等值式的理解和掌握；一是為第8章學(xué)習(xí)布爾代數(shù)中部分性質(zhì)的應(yīng)用打下良好的基礎(chǔ)。

       集合恒等式的證明方法通常有二：其一，要證明A＝B，就需要證明AÍB；在證明AÊB。

其二，通過運(yùn)算律進(jìn)行等式推導(dǎo)。   

 

       3. 有序?qū)εc笛卡兒積

       有序?qū)褪怯许樞虻臄?shù)組，如<x,y>，x,y 的位置是確定的，不能隨意放置。

       注意：有序?qū)?A，B>¹，以a,b為元素的集合{a,b}={b,a}；有序?qū)?a,a)有意義，而集合{a,a}不成立，因?yàn)樗皇菃卧丶希瑧?yīng)記作{a}。

       笛卡兒積是一種集合合成的方法，把集合A，B合成集合A×B，規(guī)定

       A×B＝{½xÎA,yÎB}由于有序?qū)?X,Y>中x,y的位置是確定的，因此A×B的記法也是確定的，不能寫成B×A。       h笛卡兒積也可以多個(gè)集合合成，A₁×A₂×…×A_n。

       h笛卡兒積的運(yùn)算性質(zhì)。

 

       例3.7 設(shè)集合 A={a,b},B={1,2,3},C=usn3muzmj,求A×B×C，B×A。

       解 先計(jì)算A×B＝{,,,,,}

              A×B×C＝{,,,,,}×usn3muzmj

                      ＝{<,d>,<,d>,<,d>,<,d>,<,>,<,d>}

                  B×A＝{<1,a>,<2,a>,<3,a>,<1,b>,<2,b>,<3,b>}